音高標識與音律計算

 

文:上海藝術研究所 陳正生 (2001/11/11)


音律知識應該是音樂工作者的基本功,無論是作曲者,還是演唱、演奏者,懂得音律,必有利於能力的發揮;而從事音樂研究的人具有一定的音律學知識,可使研究更細緻、更深刻;即使是音樂愛好者,具有音律學知識,對於音樂作品的理解深度與欣賞能力的提高,必有明顯的幫助。儘管這個道理是人人皆知的,但是多數人對於音律學都不願意接觸,認定音律學乃是一種艱深的學問。這一認識儘管有其其歷史根源,卻未必正確。

律學堪稱為外國的國學。自古至今,我國歷代律學著作積累頗豐,涉及律學的著作如《管子》、《呂氏春秋》、《淮南子》、“二十五史”……雖然不能說汗牛充棟,卻可認定為在世界各國中絕無僅有的。事實上就我國古代的律學著作來說,這些音律學著作也確實存在著不少缺憾:例如將律學的基礎研究弄得很瑣碎;以“同律度量衡”為口實,硬把律、度、量、衡牽扯在一起;把律與曆(法)、天象和候氣混攪在一起,從而把律學又弄得很玄。如此等等。所有這些律學研究上存在的問題,都成了人們學習音律學知識的心理障礙。

應該承認,“同律度量衡”有其科學的內涵,“度、量、權、衡”是關係人們生活的大事,它得有個統一的標準。如今將黃鍾正律管的長度作為“長度”(分、寸、尺、丈)的標準,將黃鍾正律管的容積作為“容量”(龠、合、升、鬥、斛)的標準,將黃鍾正律管內的積實作為“權”(砝碼)的標準,從而制定衡器(秤),這確實有其一定的科學性。但是將十二律管的來源神秘化,就未免將問題複雜化。

律與曆的糅合,乃是因為古代將十二律與十二月令糅合一起的緣故;月令與天象密切相關,因此古代的正史便將“律”與“曆”合作一志。

除去以上所述人為造成的律學研究神秘因素而外,也毋庸諱言,音律學確實有其艱深的一面。這是因為律學是音樂聲學中的一個重要組成部分。人們在解決一些律學理論和樂器製作方面的具體問題時,不少音律學問題涉及到人們至今還難以弄清的音樂聲學方面之問題的緣故。筆者認為,律學並不是玄學,在音樂範疇內它是極其重要的應用科學,實用是它的重要屬性。因此,有關這方面的音律學知識,還是可以講得淺顯些的。本文打算談一點這方面的知識。

一、音高標識

樂曲有一定的調,樂音有一定的音高,我國古代很早就注意到音律和調高了。我國古代音高(絕對音高)是用黃鍾、大呂、太蔟、夾鍾、姑洗、仲呂、蕤賓、林鍾、夷則、南呂、無射、應鍾等十二律呂來表示的。黃鍾、太蔟、姑洗、蕤賓、夷則、無射等為六律,為陽;大呂、夾鍾、仲呂、林鍾、南呂、應鍾等為六呂,為陰。

黃鍾(正律),據我國古代典籍記載,乃是徑三分、長九寸的閉管律管所奏出的音高;也就是說,管內徑為管長的三十分之一,因此,《漢書》就認定管內周為管長的十分之一。由此可知,漢代的圓周率為“周三徑一”。康熙帝曾批評這種“約率”,認定用這種約率製作的律管,無論如何都是不會合律的。康熙帝的這一批評近似於詭辯,當然是不正確的。

我國古代的律管,無論是銅質的、玉質的還是竹質的,除明代音律學家朱載堉所設計的36支異徑律管為開管外,其餘都是閉管。朱載堉所設計的律管為開管,這在《律學新說·吹律第八》中有明確的說明。朱載堉說:“嘗以新律使人吹之,能吹響者十無一二。往往因其不響輒以指掩下端,識者哂之。”瞧!朱載堉所設計的律管是不能“以指掩其下端”的。這兩端通洞的律管不就是開管嗎?

這種律管不同於一般的簫笛之類管樂器。它有自己特定的吹律方法。這種吹律方法在《律學新說·吹律第八》中也有明確的說明。朱載堉說:吹律時“吹律者須凝神調息,絕諸念慮,新安志定,與道潛符,而後啟唇少許,吐微氣以吹之,令氣悠悠入于管中,則其正聲乃發。又要持管端直,不可軒昂上端,空圍不可以唇掩之。”

這種吹律方法很有其特殊性。律管的末端掩住以後,末端校正量便等於零;吹奏端“空圍不可以唇掩之”,則其管端校正量不僅最小,也最穩定,當溫度和濕度不變時,律管吹出的頻率也就相當穩定。本人曾在上海交通大學的聲學實驗室內間斷地吹過三次測頻,所測頻率竟完全一致。這也說明,數千年前的古人就具有了相當的聲學知識。

如今已說清楚朱載堉的異徑律管為開管,又何以知道古代的律管惟獨朱載堉所設計的律管為開管,而其他律管皆為閉管呢?這就得弄清朱載堉所設計的律管與其他律管直接的差別。原來朱載堉所設計的36支異徑律管都開有一個一分七厘六的豁口,而其他律管則沒有。別小看這豁口,它有很重要的功用。古人雲,“差之毫釐,失之千里”,這小小的豁口就象洞簫的豁口一樣,很有利於律管的發聲。儘管如此,這開有豁口的律管“能吹響者十無一二”,而沒有豁口的律管若不“以指掩其下端”,空圍又不以唇掩之,那是根本無法吹響的;而“以指掩其下端”,不但易於吹響,而且發聲響亮,音高又十分穩定。這一事實就充分說明古代律管為閉管。所缺憾的是,由於歷代度量衡器不同,歷代的黃鍾正律音高也就大不一致;儘管我國音樂大家楊蔭瀏先生在《中國音樂史綱》中曾用“律管頻率計算公式”計算出了“歷代黃鍾正律音高”,但是由於“律管頻率計算公式”的不嚴密,所以計算出的頻率也就不可信(註一)

如今音高的表示方法,通常都用A、B、C、D、E、F、G七個英文字母及升降符號來表示十二律之音高。這種音高的表示方法,由於用途的不同而有所差異。具體地說,就是有物理學和音樂學兩種不同學科的兩種不同音高表示方法。物理學上的音高表示方法,用的一律為大字元號,即:C0#C0、D0bE0、E0、F0#F0、G0bA0、A0bB0、B0;C1、D1、E1、F1、G1、A1、B1;C2、D2、E2、F2、G2、A2 、B2;……。音樂上音高的表示方法與物理不同,它有大字組和小字組兩類,大小字組又以阿剌伯數位表示組別。例如大字二組:C2#C2、D2bE2、E2、F2#F2、G2bA2、A2bB2、B2;大字一組:C1®B1;大字組:C®B;小字組:c®b;小字一組:c1®b1;小字二組:c2®b2;……。

關於標準音有兩方面的內容,一是物理音高,一為音樂音高。物理音高的中央C為256Hz(赫茲),其優點是256可以被2整除,C0為16Hz。音樂上的標準音分第一國際音高和第二國際音高。第一國際音高是一八三四年物理學家在德國司徒嘉特會意上決定的為a1=440Hz;第二國際音高是一八五九年在法國巴黎召開的音樂與物理學家會議上決定的,a1=435Hz。如今由於工業的發達,國際音高有升高的趨勢。

這兒需要說明的是,音樂上的c1就是我們通常所說的中央C,它相當於物理音高的C4

音樂上的C2音,相當於物理音高C0。所謂的國際音高,音樂上音高的表示方法為a1,而物理學上則用A4。音樂和物理的兩種音高表示方法,其在音名的表示方法上,有兩組容易混淆,即音樂上的大字一、二組和物理上的大字一、二組,其餘各組則不可能混淆。至於音樂上的C2(大字二組,相當於物理上的C0),其頻率為16.35Hz。

物理學為什麼把16Hz作為C0呢?原來16Hz是人耳所能聽到的最低音,低於這個頻率的聲波被稱作“次聲”。次聲乃是人耳無法聽見的聲音。

在音樂研究或音樂考古工作中,我們常常需要對一些樂器的音高進行檢測。這些樂器上所發之音,當然不可能同今日所規定的標準音一致,往往不是比某音高,就是比某音低。為了能體現出某音的準確高度,通常都借助音分來表示。例如E4+38,或者F5-45等。我們不難看出,這E4+38所用的乃是用的物理學上的音高表示方法。由於物理學上的E4,就是音樂學上的e1,故而物理學上的音高E4+38就是音樂學上的e1+38,也就是說,該音比e1音要高38音分。又如F5-45音分,由於物理學上的F5,就是音樂學上的f2,故而F5-45就是比f2低45音分的音。

E+38及F5-45的音高表示法,又可以用音分來表示:E4+38可以寫成5238音分,F5-45可以寫成6455音分。這又是什麼道理呢?原來十二平均律的一個八度是1200音分,C0乃是0音分,C1便是1200音分,C4便是4800音分,E4是5200音分,E4+38當然就是5238音分了。

音高還有另一種表示方法,那就是用頻率來表示。例如E4+38的頻率是336.94Hz,F5-45的頻率是680.54Hz。這種種計算方法,下文將作專門介紹。

這兒還要指出一點,那就是儘管頻率不變,若標準音有所變動,音程也就會隨著變動。例如第一國際音高a1的頻率為440Hz,第二國際音高a1的頻率為435Hz;這兩個音相差已達19.79音分。再就c1來說,a1若為440Hz,c1的頻率就是261.63Hz;a1若為435Hz,那麼c1的頻率就是258.65 Hz。

二、律制種種

無論是演唱還是演奏,只要涉及音準就必然要涉及到律制,不同的律制有不同的音準標準。如今世人公認的三大律制,根據其出現的先後分別為三分損益律、純律和十二平均律。當然,除了這三大律制而外,還有不少不十分規範的“律制”。筆者認為,這些所謂不十分規範的律制,乃是由於它們不像三大律制那樣有明確的生律方法,而僅僅是靠著對演奏的測頻所下的結論,例如不少專家對我國民間所用的均孔笛演奏實際所定義的“七平均律”,以及除十二平均律以外的眾多“平均律”。由於本文乃是介紹音律計算的,旨意不在討論律制,故而只介紹三大律制,對所謂的“七平均律”,以及其他眾多的“平均律”不作討論。

(一) 三分損益律

三分損益律乃是用三分損益法生成。此律亦被稱作五度相生律。五度相生律,據說乃是希臘哲學家畢達哥拉斯所發明。三分損益法是用振動物體分成三份,損其一份以生成上方五度音,益其一份則生成下方四度音。由於三分損益律所用振動實體之比例為4:3及2:3,故而現代音律學家吳南薰稱它為“簡律”。

我國最早記載三分損益律的著作是《管子》。管子(仲)與畢達哥拉斯生活的年代差不多。儘管有不少專家在研究五度相生律與三分損益律的異同,但是筆者認為,五度相生律和三分損益律的本質乃是相同的。不過五度相生律所生各律不在一均(一個八度)之內,就以c1來說,用五度相生法生成的第12律乃是f7而不是f1,因此得移低6組(即除以64);若此,它的生律方法不僅與三分損益律完全相同,而又遠不及三分損益律明瞭。

三分損益律十二律的生律順序依次為:黃鍾®林鍾®太蔟®南呂®姑洗®應鍾®蕤賓®大呂®夷則®夾鍾®無射®仲呂。這十二律呂由黃鍾始,陽律生陰呂,陰呂又生陽律。現將十二律相鄰二律之間的音程(音分),以及黃鍾宮七聲之間的音程(音分)列表於下(單位:音分):

律名

黃鍾

大呂

太蔟

夾鍾

姑洗

仲呂

蕤賓

林鍾

夷則

南呂

無射

應鍾

音程

0.00

113.69

90.22

113.69

90.22

113.69

90.22

90.22

113.69

90.22

113.69

90.22

音名

 

 

 

變徵

 

 

變宮

音程

0.00

 

203.91

 

203.91

 

203.91

90.22

 

203.91

 

203.91

三分損益律的各個半音之間的音程是不等的,有大半音與小半音之分。因此從黃鍾生律十二次以後就無法回到黃鍾,而只能是比黃鍾高一古代音差的黃鍾變律。由於古人曾把律與曆糅合在一起,西漢末年的音律學家京房就將三分損益律演算到第六十律,南北朝時的錢樂之更是演算至第三百六十律,以求“一日當一律”。

三分損益律就十二律來說,無論是“損一”還是“益一”,就是算齊十二律備查,也並不十分繁難;但是要算全三百六十律就不輕鬆了。過去曾有人算全三百六十律,再加上細心的驗算,耗時達數月之久。本人就無意這浩繁的“工程”,因此歸結出了“三分損益律”算式。該算式為logfn=logf0[nlog3-(n+a)log2],其中的a為n乘以[(log3-log2)/log2]的整數部分。

(二)純律

純律的出現晚於三分損益律。它的大二度、四度、五度與三分損益律無異;而大、小三度卻與三分損益律有明顯的差別。由於大三度為386.31音分,小三度為315.64音分,故而完全應該認定,這音調同泛音相關。因為三分損益律中的純五度乃是3:2(三分損一),純四度乃是4:3(三分益一)。若從泛音列的角度考慮,弦的1/3與1/2處的泛音之間的音程正好是純五度,弦的1/4與1/3處的泛音之間的音程也正好是純四度。現在再來看看純律的大三度,正好是弦的1/5與1/4處泛音之間的音程;純律小三度乃是弦的1/6與1/5處泛音之間的音程。為此,純律各相鄰二音之間的音程為:

音名

清角

變宮

音程

0.00

203.91

182.40

111.73

203.91

182.40

203.91

從以上所列三分損益律和純律的音程來看,其音程最明確的特徵便是各音之間的音程不等。從理論上分析,音程不等必然給旋宮轉調帶來不可逾越的障礙。千百年來,人們一直在尋求解決的辦法,最後終於尋到了十二平均律。

(三)十二平均律

十二平均律與三分損益律、純律等自然律制不同,他是人工律制,即人為創造的律制。發明十二平均律的是明朝鄭王世子朱載堉(1536—1611)。

十二平均律又稱十二等律,即一組(我國古代稱一均)十二個半音,每相鄰的半音比值相等。十二平均律的生律公式為2-1/12,相鄰二律之間的頻率比為1.05946309436,相鄰二律之間的弦長比為其倒數:0.943874312681。無可諱言,十二平均律雖然解決了旋宮轉調的難題,但是這一人工律制同純律音程相去甚遠,所奏的和絃必然遠不及純律協和。正因為這個緣故,所以有經驗的鋼琴調音師在為鋼琴調音時,就自然而然地給鋼琴各音之間的音程關係作一點微小的技術處理。

鋼琴所用既然為十二平均律,那麼從理論上說,各音(律)之間的音程應該是相等的。我們無法依據調音師的經驗來作音律分析。因此,從理論上來說,十二平均律的各律(半音)之間的音程就理當認作100音分。

除這三大律制而外,還有一些別種律制。在我國討論最熱門的要算所謂的“七平均律”了。這種律制的歷史已夠悠久了。據筆者考證,它被我國民間音樂(所謂的“俗樂”)所採用,至遲是在魏晉時期,因此至少有1800年以上的歷史了。儘管這種應用已很久的律制為民間俗樂律制,但是魏晉時期就已用於宮廷“雅樂”之中,這也是歷史的事實。這一史實不僅有日本現存的法隆寺所藏隋朝的“笛”、八支分別用象牙、玉石和竹製作的唐朝尺八為證,更有《晉書》和《宋書》的記載為證。筆者通過對《晉書》所載“荀勖笛律”的多年研究,以及對“荀勖笛律”所涉及的“泰始笛”的製作研究,同樣證明《晉書》和《宋書》的記載可靠。

(四)“七平均律”

這兒討論的所謂“七平均律”,楊蔭瀏先生曾經稱其為“等差律”。後來楊先生又認為這“等差律”的名稱未必恰當,因它是弦或管等振動實體的近于均等,故而主張該律應正名為平均律(註二)。不過楊蔭瀏先生所說的平均律同今日人們所說的“平均律”乃是名同而實異的兩個概念:楊蔭瀏先生所說的平等律乃是振動實體的均分,卻不是他一貫反對的八度音程的均分。

關於“七平均律”一名的由來,尚缺具體的資料。這一名稱的出現至遲在民國三十六年。這有楊蔭瀏、查阜西二位先生的論爭文章為證。而提及“七平均律”的“理論”,乃是清末的戴武。鄭穎蓀先生曾收藏戴武於光緒年間寫的《律說》一書,戴武於該書中明確地提出了“七平均律理論”。大家都知道,清朝自康熙帝始,就對朱載堉的平均律及異徑管律進行了批判。戴武也提出了朱載堉不該用“十三律連比例開十一乘方法”,而應該“用八律連比例開六乘方法”。在戴武看來,一均(一個八度)分成十二個半音,相鄰二音之間為100音分是不對的;應該分成八個音,相鄰二音之間的音程應該是171.43音分。

楊蔭瀏先生一直認定這一“理論”是背離中國音樂之實際的。筆者40多年前就利用課餘時間向民間藝人學笛,40年前亦常聽吾師甘濤教授之尊人甘貢三老太爺奏笛,當時還開始了簫笛的製作。對於簫笛的研究不敢說有成,但至少不是“不甚了了”。如今不論是從這舊式均孔簫笛“一笛七調”的演奏情況,還是從漢魏以來的笛子製作工藝的要求來看,這所謂的“七平均律”,都是同舊式均孔笛相關的。要把這問題說清楚,就必須弄清管口校正的問題。由於管口校正研究具有相當的複雜性,故而如今尚無法從音律學以及音樂聲學的角度進行闡述。如今人們所引用有關“七平均律”的資料,都是對演奏音響的實測,資料都是因人而異、因時而異,難作準則,筆者認為無從討論。

演唱或演奏過程中,音準是以律制為標準的。但是演唱或演奏中的音準又具有相當的靈活性,即演唱或演奏的音準必然存在一定的誤差,與以律制為依據而整齊劃一的演唱或演奏是不存在的,若不允許演唱或演奏過程中存在誤差,我們必將失去豐富多彩的音樂生活。

三、音律計算

本文討論音律的計算方法之目的,乃是為著能有利於音律學論文的閱讀,有利於演奏、演唱技能的發揮。尤其是從事音樂研究而又不擅長音律計算的人,若能掌握音律計算方法,於研究無疑是大有俾益的。本文將討論音分與頻率的轉換,音程與頻率的轉換,弦上音位的計算,等等。至於管樂器上的音位計算,由於管子上的“管口校正”情形的複雜性至今未能摸清,也就無法敘述,無從討論。當然,本人的研究所得出的結論是,影響管樂器頻率不光是管口校正,更有聲波速度的影響。這是本人四十多年簫笛製作研究所得出的結論,有待於聲學實驗的驗證。

(一)絕對音高與頻率的換算

絕對音高有兩種表示方法,一種是音分表示法,另一種是音名表示法。在考古研究中,已如前文所述,音名是不用音樂上通用的大字組、小字組之區別的,而是僅用大字的0、1、2、3……來表示。起始音是C0,它乃是0音分,一組為1200音分。例如,A4便是5700音分。這是因為C0—C4為4800音分,C4—A4為900音分,二者之和也就是5700音分了。再如bB5-34便是6966音分。這是因為C0—C5的音程為6000音分,而C5bB5為1000音分,計7000音分,減去34音分,也就是6966音分了。

附帶說一句,若將考古上的音高換算成音樂上的音名表示法也是不難的。這兒只要記住兩個關鍵性的音就行了。一個是考古學上的C0就是音樂上的C2(大字二組),另一個是考古學上的C4,就是音樂上的c1(小字一組),因此,考古學上的A4,就是音樂上的a1(小字一組)。此外,6966音分就是bb2 -34

關於音分及音名同頻率的換算就比較麻煩了。例如6966音分,或bB5-34,它的頻率該是多少Hz(赫茲)?要進行計算,首先要記住兩個資料:一個是考古學上的C0,也就是音樂學上的C2(大字二組)的頻率16.3515978313Hz,取約值16.35Hz;此頻率的對數便是1.21356019708。另一個資料便是比例常數3986.31371386,此資料乃是1200/lg2。因為一個八度為1200音分,其頻率比為2的緣故。如果我們要求出6966音分的頻率,可通過以下計算求得:

6966¸3986.314+1.21356 = 2.961,然後查反對數,得914.20(Hz)。這914.20Hz就是6966音分的頻率。

相反,若知道頻率,完全可以運用上述公式的逆運算求得它的音分。例如,已測得考古發掘出的某磬片的頻率為586.86Hz,求此音的音分及音名。

解:(1) 先求出586.86Hz的對數與16.35Hz的對數之差。

lg586.86—lg16.35 = 2.7685345029—1.213560197 = 1.554974312

‚ 將1.55497431253986.31371386 = 6196.62。取出近似值6197音分。

由於C4為6000音分,D4為6200音分,故而6197音分為D4-3

(二)弦上的音位計算

在弦上進行音位計算,其主要目的雖然是為著律學的研究,但是它同樣有著實際的用途。最早將弦用於律學計算的是西漢末年的京房(前77—前37)。他為了研究60律而設計了弦准。對於律學研究來說,若要區別三分損益律、純律、十二平均律三種律制之間的差別,除了借助弦而外,是沒有任何一種樂器是能負起此任的。諸君若於此有興趣,筆者于下方列出這三種律制各音在弦上的百分比。

在列出這三種律制音階各音在弦上的百分比之前,有4點說明。

1、三分損益律的傳統七聲音階,只有變徵(#4)而不用清角(4),純律只有清角而沒有變徵。為了統一起見,此處根據如今的音樂實際,也改用清角。

2、純律,實際上乃是在三分損益律的基礎上增添了4:3的純四度、5:4的純律大三度和6:5的純律小三度。筆者至今也未曾見到有人介紹純律的十二律。因此,本文也只能介紹這三種律制的七聲音階在弦上的百分比。

3、三分損益律的首律是黃鍾,如今人們通常以C(c1)為首音,更有不少人愛把黃鍾正律說成C。實際上我們無法證明古代的黃鍾就是C,但卻可以把黃鍾比擬作C。

4、在同一根弦上進行三種律制的音程比較時,弦的下端為起點0,上端為止點,即全弦長1。

現將三種律制各音在弦上的比例列表於下:

階名

1

2

3

4

5

6

7

1

三分損益

1.0000

0.8888

0.7901

0.7400

0.6667

0.5926

0.5267

0.5000

純律

1.0000

0.8888

0.8000

0.7500

0.6667

0.6000

0.5333

0.5000

十二平均律

1.0000

0.8909

0.7937

0.7492

0.6674

0.5946

0.5297

0.5000

至於弦上的音分計算當然並不僅僅是為著三種律制的比較。本世紀四十年代,我國音樂大家楊蔭瀏先生在進行音律研究時,就是借助了弦准,即在弦上確定一標準音,然後確定所測之音在弦上的按弦點,通過按弦點同弦上的基準點的比例,算出所測之音的音高或音程。例如一根長58公分的弦,音高(空弦音)為d1(293.66Hz),現測得某音與弦上47.65公分處所發之音等高,算出所測之音的高度(頻率)。

解:由於頻率同弦長成反比,所以所測之音同空弦音的音程,即為這兩段弦長的對數差與音分計算比例常數之積。列式如下:

(lg58—lg47.65)´ 3986.314 = 0.08537 ´ 3986.314 = 340.31(音分)。

由於d1比c1高大二度,故而d1為5000音分,今再加340.31音分,故而為5340.31音分,其音高為F4+40。運用前面述及的音分同頻率換算的方法,可列出以下算式:

5340.31¸ 3986.314 + 1.2136 = 2.5533

查2.5533的反對數為357.52,由此可知,該音的音高為357.52(Hz)。

關於弦上的頻率及音位計算,只能計算其相對音高,不能計算其絕對音高。弦的絕對音高的確定必須憑藉其他能確定絕對音高的樂器。正因為這個緣故,漢代的京房既明確指出“竹聲不可以度調”,而在涉及弦准的絕對音高時又不得不牽涉到律管,晉代的楊泉也認定“以管定音,以弦定律”。

何不能確定絕對音高呢?這從弦的頻率公式的分析中就可以獲得證明。弦的頻率公式是:

從弦的頻率公式可知:雖然弦的頻率(F)與弦長(L)成反比,同弦的張力(T)的平方根成正比,同弦的質量(m)的平方根成正比。作為絃樂器上的弦,盡管弦成可以測量,但是其張力與質量都是無法準確測定的,因此頻率(F)也就無法確定。

(三)從頻率計算音分

從頻率計算音分是比較簡單的。它與弦上的音位計算正好為逆運算。若兩個頻率分別為1362.76Hz與1485.95Hz,求這兩個頻率之間的音程。可列出以下算式:

(lg1485.95lg—1362.76)´ 3986.314 = (3.172 —3.134)´ 3986.314

= 0.038´3986.314=151.48(音分)。

(四)關於板樂器及管樂器的頻率

音律既然是樂器的重要屬性,那麼除了絃樂器而外,還有打擊樂器和管樂器。打擊樂器如鍾磬,屬於板振動。板振動的固有頻率的計算,乃是憑藉的經驗公式,因此除了可以對它測出的頻率進行計算而外,目前還無法對它本身的固有頻率進行計算。

作為板振動的鍾磬,尤其是特殊的板振動的樂器——鍾,據說西周就有所謂“立均出度”的“均鍾木”。儘管東周出土的鍾磬有校音的痕跡,但是所校音高的範圍不大。由此可見,自西周始,用這“均鍾木”來鑄造具有絕對音高的鍾磬是完全可信的。但是這“均鍾木”究竟是如何“立均出度”的,如今已成了難解之謎。

至於管樂器,常常見到人們述及它們的頻率公式或音程公式,看起來管樂器的固有頻率似乎是完全可以計算的。實際上管樂器除了可以對它們所奏出的音高進行計算而外,作為樂器的固有頻率(頻率公式)或音程公式,目前還無法進行計算。以下略述其原因。

首先就管樂器的基頻公式來說,其頻率應該同聲波速度成正比,同氣柱的長度成反比。這看上去似乎很簡單,但是其真實情況卻不是這麼簡單。原來管樂器不僅有開管樂器和閉管樂器,筆者還發現另有開管與閉管的結合型的管樂器。就開管與閉管來說,以邊棱音為激振源的笛類樂器,與簧哨樂器的情形又明顯不同。例如笛類樂器中的簫笛,其兩端與外界大氣相接,因此兩端都有管口校正量,作為閉管的我國古代律管和排簫,只有一端與外界大氣相接,因此只有一個管口校正量。而就簧哨樂器來說,儘管其吹奏端已含於口中或與唇緊密相接,卻仍然有開管與閉管之分。例如中國的篳篥、管子與巴烏,外國的單簧管等都是閉管,中國的嗩吶,外國的雙簧管、大管、薩克斯管,以及各種號,都是開管。那麼簧哨樂器中的開管樂器應該有一個還是兩個管口校正量?這恐怕是我們的物理學家們還沒有認真考慮過的問題吧?

再就最簡單的笛類樂器來說,律管和排簫的情形應該是一樣的,二者之間的管端校正量(因為是閉管,應該只有一個管端校正量)是否應該相同?再就簫笛來說,其聲學情形更是完全相同的。可是所有制作簫笛的人都知道,確定笛子音孔位置的公式絕對不適宜於確定洞簫的音孔位置。這是什麼道理?原來簫和笛的音調不同而導致管長不同,即使管口校正量相同,其音孔位置的比例也必然不同;實際上簫和笛的管口校正量也確實不同,所以確定音孔位置的方法也就必然不同。

欲求管樂器的計算頻率(不是實測),必須求得頻率計算公式;欲求管樂器的頻率計算公式,必須求得管樂器的管口校正量和管樂器中振動著的氣柱的聲波速度。可是別說各種管樂器的管口校正量各不相同,就是管樂器中的聲波速度如今也多是借用了大氣中的速度,這顯然是未必切合實際的。

基於以上分析,可知有關音律計算方面的問題,無論是弦律還是管律,都有許多有待深入研究的內問題。我們在這方面所知的確實還太少。

注釋:

註1.請參閱拙文《黃鍾正律析—兼議律管頻率公式的物理量》,載南京藝術學院學報《藝苑》(音樂版)1989年第1期。

註2.見楊蔭瀏先生為1950年上海萬葉書店出版繆天瑞先生所著《律學》一書的序言。

 

 

※針對本文發表您的意見※

回到學術論文

【吹鼓吹小站 http://suona.com】本站任何內容請勿任意轉載節錄,相關聲明請看首頁之轉貼須知。謝謝!